کتاب الکترونیکی ریاضی عمومی الکترونیکی

زبان ریاضیات امروز، زبان مجموعه هاست. مجموعه، رابطه و تابع از مفاهيم و ابزارهاي بنيادي در سراسر رياضيات و كاربردهاي آن است. بدون اين ابزار ياراي درست، منطقي و بدون جدل برای بيان يافته هايمان وجود نخواهد داشت!

نظریه مجموعه‌ها، زیر بنای ریاضیات جدید است. تعریف های دقیق جمیع مفاهیم ریاضی، مبتنی بر نظریه مجموعه‌هاست. از این که بگذریم، روشهای استنتاج ریاضی، با ترکیبی از استدلالهای منطقی و نظریه مجموعه ها تنظیم شده‌اند. زبان نظریه مجموعه‌ها، زبان مشترکی است که ریاضیدانان منطقی در سراسر دنیا با آن صحبت کرده و آن را درک می‌کنند. چنان که اگر کسی بخواهد پیشرفتی در ریاضیات عالی یا کاربردهای عملی آن داشته باشد، باید نخست با مفاهیم اساسی و نتایج نظریه مجموعه‌ها و زبانی که در آن بیان شده‌اند، آشنا شود.

موسس نظریه مجموعه‌ها جرج کانتور(1845- 1918)  می باشد. زمانی که کانتور مفاهیم و استدلالهای جدید و متهورانه خود را منتشر کرد، اهمیت آنها تنها توسط تعداد کمی از ریاضیدانان بزرگ درک شد؛ اما این نظریه در توسیع های آتی‌اش، تقریبا در تمام شاخه‌های ریاضیات نفوذ و تاثیری عمیق بر گسترش آنها داشت. بطوری که حتی باعث تغییر نظریه‌های تثبیت شده گردید. از اینها مهمتر، نظریه مجموعه‌ها نیرویی متحد کننده بدست داد که به تمام شاخه‌های ریاضیات مبنای مشترک و مفاهیم آنها، وضوح و دقتی تازه بخشیده است.

مجموعه‌ها را می توان به سه صورت مورد بررسی قرار داد. مطالعه مجموعه‌ها به صورت کلی و آشنایی عمومی با آنها، هر کس ‌بخواهد علوم پایه را مورد مطالعه قرار دهد باید این آشنایی را کسب کند، مطالعه مجموعه‌ها به طور طبیعی و مطالعه مجموعه‌ها به صورت اصل موضوعی. در نظریه مجموعه‌ها دو واژه طبیعی و اصل موضوعی دو واژه متضاد هم می‌باشند. در سال ۱۹۰۲، برتراند راسل، با ارائه پارادکس معروف خود، پارادکس راسل، نشان داد که نظریه طبیعی مجموعه‌ها با اصل موضوعی ناسازگار است و منجر به تناقض می‌شود. در فصل اول این کتاب با مفهوم کلی مجموعه‌ آشنا شده و اطلاعاتی عمومی در مورد آن کسب می‌کنیم.